易拉罐形状和尺寸

1 概述
    如何在易拉罐生产中最大限度地减轻单罐质量，提高材料利用率，降低生产成本，是企业追求的重要目标。易拉罐的形状和尺寸为何值时，才能最大限度的节省材料？这是一个条件极值问题，也就是在满足易拉罐体积为355毫升的条件下，求易拉罐重量的最小值问题。由于易拉罐各部位承受的压力不同，所以不同部位的材料厚度也不同。本文就是按照下列要求给出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计：
    （１）取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明。

(２）设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

（3）设易拉罐的中心纵断面如右图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

（4）利用对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

２问题分析
易拉罐的形状和尺寸的最优设计是一个决策问题，需要综合考虑多方面的因素，首先是在容积不变的情况下，罐体材料尽量少。由于易拉罐内侧面和上下底面所受压力的不同，所以不同位置的厚度也不同。
问题一，我们取一个355毫升的可口可乐饮料罐，要想测量各部分的尺寸尽量精确，首先要了解易拉罐的生产过程，找出各部分尺寸的变化规律，再进行实际测量。
问题二，设易拉罐是一个正圆柱体，怎样设计能使用料最少？首先我们想到如果易拉罐的各壁厚度相同时，用料与罐子的表面积成正比，只要求得表面积最小时，半径与高之比，就能将问题解决。但实际测得各面的厚度并不相同，不过制罐材料的体积仍然是可求的，体积最小时的半径与高就是最省料的尺寸。
问题三，设易拉罐是一个正圆台与正圆柱体的组合，求在满足约束条件V=355ml 的前提下，以制罐用铝量最小为目标函数。
问题四，体积一定的几何形体中，球体的表面积最小。我们想到将这一性质运用到易拉罐的设计中去，但由于球体不方便运输和摆放，我们把上下底改为平面，而由于球体做成的罐子宽度较大不适合抓握，于是又想到将其拉伸，变成椭球体，就形成了类似古代的酒坛子形，我们将其称为“酒罐”。在本题中“酒罐”的厚度与实测易拉罐一样（上下底的厚度为0.0275cm , 侧边的厚度0.011cm）。
问题五是根据我们建模的亲身经历，系统的分析了数学建模的一般步骤和心得体会。

３模型假设
（1）假设易拉罐的整个罐体用料全为铝，且密度为 。
（2）假设易拉罐的上底和下底的厚度相同。
（3）假设易拉罐的容积为355毫升。
（4）由于各种形状易拉罐的拉环所用材料量相同，所以我们在求制罐用料时，不计算拉环的重量。
（5）问题四中“酒罐”的厚度与实测易拉罐一样（“酒罐”的上下底的厚度为0.0275cm , 侧边的厚度为0.011cm）

４模型的建立和求解
4.1问题一：355毫升的可口可乐饮料罐的有关数据测量 4.1.1 易拉罐的制作过程：
易拉罐又称铝质易开盖两片罐，主要原料是铝质薄板，制作过程中需要两片铝板，成型主要有以下四道工序：冲杯、变薄拉伸、缩口/翻边、加盖。
4.1.2  易拉罐的测量：
通过易拉罐的制作过程，我们知道上下底的圆台侧面是拉伸、缩口形成的，厚度并不均匀。为了建模的方便，我们将其简化，假定其厚度均匀，并在多个位置多次测量求平均值，得到以下的测量数据：
右图(图1)为：355毫升易拉罐中心纵断面图

                                             

                               表1：355毫升易拉罐的实测尺寸（单位：cm）

并得到以下结论：

1、易拉罐的侧面是规则的圆柱体，而罐底和罐盖的形状不规则。

2、上下底面的厚度相同。

3、下底面是一个向内凹的拱形，可以加大下底面的抗压性。

4、上部圆台的倾角大于下部圆台的倾角，因为下部圆台是由一整块的铝制薄板冲压得到，而上部的圆台在加盖时要与盖子咬合，倾角不能太小。

4.2问题二：正圆柱体易拉罐的最优设计

4.2.1符号约定：

—— 一个易拉罐的重量
——易拉罐圆柱侧面厚度
——易拉罐上下底面厚度
—— 易拉罐的体积
——圆柱的高度
——圆柱的底面半径

4.2.2模型的建立与求解：
由于容积固定，可以用变量代换将变量减少，从而求出面积最小时的半径与高的关系。我们的重点问题就是研究在易拉罐的各部分厚度不同的前提下，易拉罐的高和直径之比为何值时能使得易拉罐的重量最小。
我们以实测的易拉罐的各面厚度为依据，即 = =0.0110cm,   = =0.0275cm。
4.2.2.1  易拉罐侧面厚度与上下底面厚度相同：
定理一：当制罐材料厚度相同时，易拉罐的高度与底面直径相等时，制造时所消耗的铝皮面积最小。
在本题中，V=355ml ，计算得到当r=3.8372cm ，h=7.6744cm 时用铝量最省。即直径和高相等时，单罐的耗铝量最小。
4.2.2.2 易拉罐侧面厚度与上下底面厚度不同（上下底厚度为0.0275cm ,侧面的厚度为0.011cm）：
准则一：易拉罐的造价与易拉罐的重量成正比
根据以上准则，我们得到易拉罐的重量 的目标函数为：

定理二：正圆柱体形易拉罐，高与直径之比为底面厚度与侧面厚度之比时，用料最节省，价格最低。
当我们考虑到各面材料差异时，将问题一中的测量数据带入计算公式，侧面厚度 ，

 由于现实的易拉罐不是绝对的圆柱体，它的上下部还有一个圆台，所以实际值和理论值有所差别是可以接受的。这样就能解释为什么易拉罐的高与底面直径的比值在2左右了。

4.3问题三：易拉罐的纵断面上部为圆台，下部为圆柱时的最优设计
4.3.1符号约定：

——单个易拉罐的重量

——铝的密度

——圆台的体积

——圆台的垂直高度

——圆台的上底面半径

——圆台的斜高

——圆台的侧面积

——圆柱的侧面积

——圆台的倾斜角

——圆柱的体积

——圆柱的高度

右图(图2)

——圆柱的底面半径

——易拉罐的体积

——圆柱侧面厚度

——圆柱底面的厚度（圆台顶部的厚度）

4.3.2模型的分析：

易拉灌的中心纵断面如图2所示，为了求解的方便，我们将其分割为一个正圆台和一个正圆柱分别求其体积和面积。

右图(图2)为：上部为圆台，下部为圆柱时的易拉罐

易拉罐的纵断面上部为正圆台，下部为正圆柱，它的形状是由 , , , 四个变量决定的。我们要解决的问题就是如何确定这四个变量的值，使得易拉罐的重量y最小。

4.3.3模型的建立和求解:

我们要求一个饮料罐最省，就是要求易拉罐重量y最小，所以得到以下目标函数，并写出目标函数和约束条件：

Min

s.t.

由于公式比较复杂，并不能直接通过理论求解来确定这四个变量。我们采用了计算机编程搜索的方法来确定变量的值。为了编程容易实现，我们对变量的范围作了一些限制，其中 ，而  的值我们给一个较大的范围，再用计算机编程搜索。

4.3.4模型的结果

上式中有 , , , 四个变量，我们将实测的已知数据代入以上目标函数，用MATLAB编程搜索得到容积为355毫升的饮料罐，使用材料最少时，各部分尺寸如下表：

表2：圆台加圆柱时的最优尺寸

将以上最优尺寸代入用料量的公式，得到最少用料为3.9065 克。

我们将优化的尺寸与现实测量的尺寸相对比，列表如下：

表3：
假设的易拉罐与实测尺寸的对比

由上表的对比发现，模型的上底面半径、圆台的倾斜角与实际测量的尺寸相差甚远，其他的尺寸相差不大。造成这一结果的原因之一是易拉罐的净含量为355毫升，而易拉罐的实际容积大于355毫升。模型中圆台的倾斜角和上底面半径都很小，导致上底面只有针尖大小，显然是不能用于现实中的。这是由于上底面的厚度比圆台侧面厚度要大，增大圆台侧面的面积，就能减小上底面的面积，从而节省材料。但是现实生活中圆台的倾斜角过小，翻边、加盖的工序难以完成，并且上底面太小使用也不方便，所以此模型要想运用，还应该改进。

4.4 问题四：对易拉罐形状和尺寸的重新设计

4.4.1符号约定：

——“酒罐”的体积

——椭球上端的体积

——椭球上半端体积与半径为r高 的圆柱体的体积之和

——半径为r高 的圆柱体的体积

——“酒罐”的重量

——铝的密度

——椭球的表面积

——“酒罐”侧面的面积

——“酒罐”上底面或下底面的面积

——“酒罐”侧面的厚度

——“酒罐”上底面或下底面的厚度

4.4.2模型的分析

查资料知道体积一定的几何形体中，球体的表面积最小。所以我们想到将球体的这一特性运用到易拉罐的设计中去，但由于球体不方便运输和摆放，我们把上下底改为平面，而由于罐体中间部位要适合人的手握，将球体拉长变细，我们想到使用椭球体，类似古代的酒坛子，我们将其称为“酒罐”。在本题中 “酒罐”的厚度与实测易拉罐一样（“酒罐”的上下底的厚度为0.0275cm , 侧边的厚度为0.011cm）

    把椭圆曲线 绕Z轴旋转360度形成的椭球体方程为 ，再截去上下两个顶端就构成了我们要的“酒罐”。具体见图3

图3 “酒罐”的大致形状图

我们知道，易拉罐的造价与易拉罐的重量成正比，所以我们要确定a,c,r的值使易拉罐的重量最小。

4.4.3模型的建立

通过分析知道，这是非线性规划问题，列出目标函数和约束方程：

通过程序计算我们看出当r=0 ，a=c=4.3924cm时目标函数y取最小， 克。在这里我们考虑到实用性，对罐顶半径做了一定的限制，对罐身的宽度也做了一定的规定，使得新设计的罐子材料省，符合人体力学的要求，大小适中，使用方便。

Min

s.t.

r，a，c的范围是我们根据实际情况给出大概的取值区间，再由计算机进行多次模拟缩小区间范围最终确定。

4.4.4模型的求解:

通过计算机编程计算，我们认为下表中的三种尺寸是比较合适的。

表4：优化的酒罐形易拉罐

以上三种易拉罐的形状和尺寸是在各变量约束条件下，用计算机编程搜索得到，在综合考虑用料的节省，各种年龄的人手握的舒适性，开口的大小方便饮用，我们认为A型酒罐的设计最优。因为第一，A罐的宽度和高度比例适中，外型比较精巧，一般成人手握直径为4—7厘米的物体时比较轻松，A罐最粗的地方直径为6.52cm，手握在最粗处的下部时，可以更省力。第二，A罐开口半径为2cm，有足够的空间加盖、加拉环，也可制成全开盖（类似八宝粥）。第三，用料比其他的罐子都要节省。跟问题三中上部是正圆台下部是正圆柱的易拉罐的用料相比，节省了12.47%。

4.4.5模型的改进：

在上面的模型中，我们设计的“酒罐”，已综合考虑了用料节省，外观精美和手握的舒适性。对于上面的模型，我们并没有考虑到罐内气体对罐壁的压力，根据实际经验，可以知道易拉罐由于受到过大的内部压力时罐底会鼓出，这样“酒罐”就不能放平，所以我们还要对底面进行拱形优化，就像拱桥可以增加抗压性的原理一样。“酒罐”在侧面的厚度其实应该不一样。由于侧面为底面分担了部分压力，上下底面的厚度可以适当减小，而当罐体上下面同时被挤压时，罐壁中间部分可能会爆裂，所以侧面最鼓的地方，壁厚应该最大，以保护罐体不会轻易变形。上面的模型中我们进行了简化，使侧面的厚度取同样的值。其次就是罐的上底面与罐壁的衔接处要加厚，以免被气压冲裂。这就是我们的模型需要改进的地方（见图7）。

图7新设计的“酒罐”中心纵断面

5 结束语
    由于易拉灌的主要原料为铝质薄板，降低铝板的消耗是降低易拉罐生产成本的主要措施，而减薄铝板的厚度，降低单罐所耗用的铝板重量是降低易拉罐成本的重要技术手段。但是减小铝板厚度的同时，要利用形状的变化减小内部压强。
    以上的模型中，易拉罐的形状和尺寸的优化设计外观精美：合理的利用易拉罐的外表面，使其拥有优美的画面，用明快的颜色和鲜明的个性，突出产品的商标，形象，加上合理的长、宽、高之比，精巧的造型，将直接刺激消费者的购买欲。
    人体工学的要求：一般男性手掌长度范围在17.5~20cm之间，宽度在8~ 9cm之间；女性手掌长度范围16~18cm之间，宽度在6.5~ 8cm之间。易拉罐的尺寸与形状要适合各种人手的尺寸，线条要流畅适合抓握。
    热胀冷缩的影响：易拉罐由于经常需要冷藏，所以在生产使用时，其形状和尺寸受热胀冷缩的影响应该尽量小。
    加工的易度：首先易拉罐的形状应该尽量的简单，便于大批量的生产。其次，制造中焊接口的工作量明显大于一次性变薄拉伸成型，所以在设计时还应该使焊缝长度最短。